Лабораторная работа № 24.
Дифференциальное и интегральное счисление в Mathcad

Время выполнения

2 часа

Цель работы

Научиться с помощью численных методов и символьного процессора  Mathcad находить: пределы функций в точке и на бесконечности, производные функций одной переменной и частные производные функций нескольких переменных, разложения функций в ряд Тейлора - Маклорена, неопределенные и определенные интегралы, суммы функциональных рядов, решения  обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 

Задачи лабораторной работы

После выполнения работы студент должен знать и уметь:
    1) Знать основные приемы вычисления пределов, производных, интегралов, решения дифференциальных уравнений в Mathcad;
    2) Уметь вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;
    3) Уметь находить производные функций одной переменной и частные производные функций нескольких переменных, используя численные методы и символьный процессор Mathcad.
    4) Уметь выполнять разложение функций в ряд Тейлора - Маклорена; 
    5) Уметь вычислять неопределенные и определенные интегралы функций;
    6) Уметь находить суммы функциональных рядов;
    7) Уметь находить решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Перечень обеспечивающих средств

Для обеспечения выполнения работы необходимо иметь компьютер с операционной системой MS Windows, установленное приложение РТС Mathcad версии 14 или выше;  методические указания по выполнению работы.  

Общие теоретические сведения

Для вычисления пределов, производных, интегралов, сумм рядов в Mathcad используется панель Calculus (рис. 1).
 
Рисунок 1. Панель инструментов Calculus

Открыть панель Calculus можно, щелкнув мышкой по изображению интеграла на панели инструментов Math (рис. 2).
 Рисунок 2. Панель инструментов Math

Вычисление пределов

Пример:

Производные функций одной переменной

Пример 1 (символьный метод).
t := 1

Пример 2 (численный метод).
t := 1

Частные производные

Пример 1 (символьный метод).
                             

Пример 2 (численный метод).
t := 1 w := 2

Примечание: Для того чтобы придать частным производным соответствующий вид необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши по изображению производной в формуле и в открывшемся окне выбрать View Derivative As / Partial Derivative.

Разложение функции в ряд Тейлора по степеням х в окрестности точки х = 0 (ряд Маклорена)

Пример
Здесь в левой части выражения на первом месте стоит функция, которую надо разложить в ряд (в данном случае  ), далее следует слово series, что означает разложение в ряд, после чего указывается переменная относительно которой надо производить разложение в ряд (у нас это – х), затем указывается количество членов разложения.
Примечание: слово series необходимо вставлять, используя панель Symbolic (рис. 3).
 Рисунок 3. Панель инструментов Symbolic

Панель Symbolic можно открыть, щелкнув по изображению «шапочки» на панели Math. 

Неопределенный интеграл

Пример:

Определенный интеграл

Пример 1 (символьный метод)
Пример 2 (численный метод)

Несобственный интеграл

Пример 1 (символьный метод)
        
Пример 2 (численный метод)

Двойной интеграл

Пример 1 (символьный метод)
     
Пример 2 (численный метод)

Суммирование рядов

Пример 1 (символьный метод)
                          
Пример 2 (численный метод)   

Решение ОДУ первого порядка ( )
Для нахождения решения используем служебное слово Given и функцию Odesolve(t, n), где t – переменная, относительно которой находится решение уравнения, n – количество точек, в которых будет найдены значения функции y(t).
Пример:
Given


Видеоурок по выполнению заданий лабораторной работы

Варианты задания

Содержание отчета
  1. Задание и цель работы.
  2. Выполненные расчеты.

Технология выполнения работы

В данной работе необходимо произвести вычисления производных, интегралов, найти суммы рядов и разложения функций в ряд Тейлора - Маклорена, используя панель Calculus, а так же применяя методики описанные выше.

Вопросы для защиты работы

  1. Как вычислить частную производную функции в Mathcad?
  2. Как используя символьный процессор найти сумму ряда? 
  3. Как вычислить двойной интеграл в Mathcad?
  4. Как найти разложение функции в ряд Тейлора - Маклорена?